Función constante
Una función cuyo rango esté constituido por un solo número se llama función constante. De esta manera, si f(x)=k, y si k es cualquier número real, entonces f es una función constante y su gráfica es una recta horizontal a k unidades del eje x.
Ejemplo 1. Una
función constante es f(x)=4
Dom(f)=R
Ran(f)={4}
Ejemplo 2. Una
función constante es f(x)=-2
Dom(f)=R
Ran(f)={-2}
Función lineal
Una función lineal se define como
f(x)=mx+b
donde m y b son constantes y m≠0. Su grafica es una recta con pendiente m y ordenada en el origen igual a b.
Ejemplo 1. Una
función lineal es f(x)=3x-2
Pendiente:
m=3
Ordenada en el origen:
b=-2
Dom(f)=R
Ran(f)=R
Ejemplo 2. Una
función lineal es f(x)=-x
Pendiente:
m=-1
Ordenada en el origen:
b=0
Dom(f)=R
Ran(f)=R
Una
característica de la recta es su “inclinación”. Veamos el siguiente gráfico
En la figura, la recta L_1 crece más rápido, conforme va de izquierda a derecha, que la recta L_2 . En este sentido L_1 está más inclinada o empinada.
Para medir la inclinación de una recta se
usa la noción de pendiente.
Recordemos
la
definición de pendiente de
una recta no vertical:
Sean P(x_1;y_1 ) y Q(x_2;y_2) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta es:
Ejemplo 1. Encuentre la regla de correspondencia de
una función lineal si se sabe que su recta
tiene
pendiente
2 y pasa por el punto (1;-3)
Resolución
Método 1 [Vamos a obtener la
ecuación de la recta en la forma punto – pendiente]
Datos:
•Pendiente:
m=2
•Punto
de paso: (x_1;y_1 )=(1;-3)
Reemplazando en la ecuación de la recta
en la forma punto – pendiente
L:y-y_1=m(x-x_1 )
se tiene
■8(→&y-(-3)=2(x-1)@→&y+3=2x-2@→&y=2x-5)
Por tanto, la función lineal buscada es
f(x)=2x-5
Método 2 [Utilizando la regla de
correspondencia de una función lineal]
Datos:
•Pendiente:
m=2
•Punto
de paso: (x;f(x))=(1;-3)
Como la regla de correspondencia de una
función lineal es
f(x)=mx+b
Usando la pendiente, queda
f(x)=2x+b
Utilizando el punto de paso, resulta
■8(→&-3=2(1)+b@→&-3=2+b@→&-5=b)
Por tanto, la función lineal buscada es
f(x)=2x-5
Aplicaciones
a la Economía
Función
costo total (C)
La función costo total
hace referencia
a todos los tipos de gastos que tiene un empresa, diferenciando entre los costos
fijos (costos
independientes del nivel de producción) y costos
variables (costos
que sí dependen del nivel de producción).
C(x)=Costo
variable+Costo fijo
Función
ingreso total (I)
La función ingreso
total es la
cantidad de dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción
I(x)=(■8(Precio
unitario@de venta))∙(■8(cantidades@vendidas))
Función
utilidad (U)
La función utilidad es
el ingreso total menos el costo total.
U(x)=I(x)-C(x)
Conclusiones:
1)La forma de una función lineal es f(x)=mx+b con m≠0.
2)La gráfica de una función lineal es una línea recta que tiene pendiente m y ordenada en el origen b.
3)Si m>0 entonces la función es creciente.
4)Si m<0 entonces la función es decreciente.
5)Si m=0 entonces la función es constante, por tanto, su gráfica es una línea horizontal.
