Función Lineal y sus aplicaciones

Función constante

Una función cuyo rango esté constituido por un solo número se llama función constante. De esta manera, si f(x)=k, y si k es cualquier  número real, entonces f es una función constante y su gráfica es una recta horizontal a k unidades del eje x.

Ejemplo 1. Una función constante es f(x)=4

Dom(f)=R

Ran(f)={4}

Ejemplo 2. Una función constante es f(x)=-2

Dom(f)=R

Ran(f)={-2}

Función lineal

Una función lineal se define como

f(x)=mx+b

donde m y b son constantes y m≠0. Su grafica es una recta con pendiente m y ordenada en el origen igual a b.

Ejemplo 1. Una función lineal es f(x)=3x-2

Pendiente:

m=3

Ordenada en el origen:

b=-2

Dom(f)=R

Ran(f)=R

Ejemplo 2. Una función lineal es f(x)=-x

Pendiente:

m=-1

Ordenada en el origen:

b=0

Dom(f)=R

Ran(f)=R

Una característica de la recta es su “inclinación”. Veamos el siguiente gráfico

En la figura, la recta L_1 crece más rápido, conforme va de izquierda a derecha, que la recta L_2 . En este sentido L_1  está más inclinada o empinada. 

Para medir la inclinación de una recta se usa la noción de pendiente.

Recordemos la definición de pendiente de una recta no vertical:

Sean P(x_1;y_1 ) y Q(x_2;y_2) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta es: 

Ejemplo 1.  Encuentre la regla de correspondencia de una función lineal  si se sabe que su recta tiene pendiente 2 y pasa por el punto (1;-3)

Resolución

Método 1 [Vamos a obtener la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente]

Datos:

•Pendiente: m=2

•Punto de paso: (x_1;y_1 )=(1;-3)

Reemplazando en la ecuación de la recta en la forma punto – pendiente

L:y-y_1=m(x-x_1 )

se tiene

■8(→&y-(-3)=2(x-1)@→&y+3=2x-2@→&y=2x-5)

Por tanto, la función lineal buscada es

f(x)=2x-5

Método 2 [Utilizando la regla de correspondencia de una función lineal]

Datos:

•Pendiente: m=2

•Punto de paso: (x;f(x))=(1;-3)

Como la regla de correspondencia de una función lineal es

f(x)=mx+b

Usando la pendiente, queda

f(x)=2x+b

Utilizando el punto de paso, resulta

■8(→&-3=2(1)+b@→&-3=2+b@→&-5=b)

Por tanto, la función lineal buscada es

f(x)=2x-5

Aplicaciones a la Economía

Función costo total (C)

La función costo total hace referencia a todos los tipos de gastos que tiene un empresa, diferenciando entre los costos fijos (costos independientes del nivel de producción) y costos variables (costos que sí dependen del nivel de producción).

C(x)=Costo variable+Costo fijo

Función ingreso total (I)

La función ingreso total es la cantidad de dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción

I(x)=(■8(Precio unitario@de venta))∙(■8(cantidades@vendidas))

Función utilidad (U)

La función utilidad es el ingreso total menos el costo total.

U(x)=I(x)-C(x)

Conclusiones:

1)La forma de una función lineal es f(x)=mx+b con m≠0.

2)La gráfica de una función lineal es una línea recta que tiene pendiente m y ordenada en el origen b.

3)Si m>0 entonces la función es creciente.

4)Si m<0 entonces la función es decreciente.

5)Si m=0 entonces la función es constante, por tanto, su gráfica es una línea horizontal.