Transformaciones Gráficas

Transformaciones

Todas las funciones siguientes son diferentes:

y=x^2

y=〖(x-3)〗^2

y=1-x^2

y=x^2-4x+5

Sin embargo, una mirada a sus gráficas muestra que, aunque no hay dos exactamente iguales, las cuatro tienen la misma forma y el mismo tamaño. La comprensión de cómo el algebra cambia formas, tamaños y posiciones y orientaciones de las gráficas es útil para entender la conexión entre los modelos algebraicos y gráficos de funciones.

Traslación vertical

Una traslación vertical de la gráfica de y=f(x) es un desplazamiento de la grafica de la función hacia arriba o hacia abajo en el plano coordenado.

Por ejemplo

f_1 (x)=x^2

f_2 (x)=f_1 (x)+2=x^2+2

f_3 (x)=f_1 (x)+6=x^2+6

f_4 (x)=f_1 (x)-2=x^2-2

f_5 (x)=f_1 (x)-4=x^2-4

¿Qué efecto parece provocar sumar al f_1 (x) el número 2, 6, -2 y -4?

Traslación vertical

Sea c un número real positivo. Entonces las transformaciones siguientes resultan en traslaciones verticales de la gráfica de y=f(x)

 y=f(x)+c      una traslación vertical de c unidades hacia 

arriba.

y=f(x)-c      una traslación vertical de c unidades hacia abajo.

Traslación horizontal

Una traslación horizontal de la gráfica de y=f(x) es un desplazamiento de la grafica de la función hacia la izquierda o hacia la derecha en el plano coordenado.

Por ejemplo

f_1 (x)=x^2 

f_2 (x)=f_1 (x-1)=〖(x-1)〗^2 

f_3 (x)=f_1 (x-3)=〖(x-3)〗^2

f_4 (x)=f_1 (x+1)=〖(x+1)〗^2

f_5 (x)=f_1 (x+2)=〖(x+2)〗^2

¿Qué efecto parece provocar si suma -1, -3, 1 y 2 a la variable independiente?

Traslación horizontal

Sea c un número real positivo. Entonces las transformaciones siguientes resultan en traslaciones horizontal de la gráfica de y=f(x)

y=f(x-c)     una traslación horizontal de c unidades hacia la derecha

y=f(x+c)     una traslación horizontal de c unidades hacia 

la izquierda.

Reflexiones con respecto a los ejes

Los puntos (x;y) y (x;-y) son reflexiones mutuas con respecto al eje x. Los puntos (x;y) y (-x;y) son reflexiones uno del otro con respecto al eje y (vea la figura). Dos puntos (o gráficas) que son simétricas con respecto a una recta son reflexiones uno del otro con respecto a esa recta.

Reflexiones

Las transformaciones siguientes resultan en reflexiones de la gráfica de y=f(x):

Con respecto al eje x

y=-f(x)

Por ejemplo

Con respecto al eje y

y=f(-x)

Por ejemplo

Conclusiones

1)Si y=f(x)+k con k>0, entonces la gráfica de f se desplaza k unidades hacia arriba.

2)Si y=f(x)-k con k>0, entonces la gráfica de f se desplaza k unidades hacia abajo.

3)Si y=f(x-k) con k>0, entonces la gráfica de f se desplaza k unidades hacia la izquierda.

4)Si y=f(x+k) con k>0, entonces la gráfica de f se desplaza k unidades hacia la derecha.