Rectas en el plano cartesiano.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P(x; y).

Ejemplo  Ubique el punto P(2; 3) en el plano cartesiano.

Resolución

Para ubicar el punto P de abscisa  2 y ordenada 3 en el plano cartesiano, se deben de seguir los siguientes pasos:

Paso 1.- Trace una recta vertical que pase por x = 2.

Paso 2.- Trace una recta horizontal que pase por y = 3.

La intersección entre ambas rectas es el punto P.

Definición [La línea recta].

La línea recta es el lugar geométrico de los puntos que describen una función de modo que si toman 2 puntos arbitrarios de esa función P(x_1; y_1) y Q(x_2;  y_2 ), se cumple que la pendiente m es siempre constante, donde m se define como:

m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Observaciones importantes:

* La ecuación de la recta más simple es y=mx+b, donde  m es la pendiente y b es el punto donde intersecta la recta al eje y.

* La ecuación de la recta en forma polinomial es Ax+By+C=0.

Ejemplo . Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2; 3) y tiene pendiente m = 2.

Resolución.

Sea P(x;y) un punto sobre la recta buscada.

Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos  (A y P).

m=(y-3)/(x-2)

Pero la pendiente de la recta en mención tiene valor de 2, es decir: m=2

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:

(y-3)/(x-2)=2

Ahora procederemos a despejar la variable y.

(y-3)/(x-2)=2

y-3=2(x-2)

y-3=2x-4

y=2x-1

Se concluye que: la ecuación recta que pasa por el punto A(2; 3) y tiene pendiente m = 2, es

y=2x-1

Ejemplo  Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1; 2) y tiene pendiente m = -1.

Resolución.

Sea P(x;y) un punto sobre la recta buscada.

Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos  (A y P).

m=(y-2)/(x-1)

Pero la pendiente de la recta en mención tiene valor de -1, es decir: m = -1.

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:

(y-2)/(x-1)=-1

Ahora procederemos a despejar la variable y.

(y-2)/(x-1)=-1

y-2=(-1)(x-1)

y-2=-x+1

y=-x+3

Por tanto se concluye que: la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1; 2) y tienen pendiente m=-1 es

y=-x+3

Ecuación Punto – Pendiente.

De los ejemplos anteriores, si se conoce un punto P(x_1;y_1) por el que pasa una recta y su pendiente m, es factible definir la ecuación de la recta.

Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido P(x_1;y_1) y al punto genérico Q(x;y):

m=(y-y_1)/(x-x_1 )       Ecuación Punto -Pendiente.

Otra forma de presentar la ecuación de la recta es:

y-y_1=m(x-x_1 )      Ecuación Punto -Pendiente

Ejemplo  Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(8; 3) y Q(7;1).

Resolución.

Paso 1. Calculamos la pendiente de la recta, ya que conocemos dos puntos de paso de la recta.

m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(1-3)/(7-8)=(-2)/(-1)=2

Paso 2. Daremos uso de la Ecuación Punto-Pendiente de la recta.

(y-y_1)/(x-x_1 )=m

Note que el objetivo es hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(8; 3) y tiene pendiente m = 2.

Veamos           (y-3)/(x-8)=2

Ahora procederemos a despejar la variable y.

(y-3)/(x-8)=2

y-3=2(x-8)

y-3=2x-16

y=2x-13

Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(8; 3) y Q(7; 1) es

y=2x-13

Ejemplo  Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(0;-2) y Q(2;-8).

Resolución.

Paso 1. Calculamos la pendiente de la recta, ya que conocemos dos puntos de paso de la recta.

m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(-8-(-2))/(2-0)=(-6)/2=-3

Paso 2. Daremos uso de la Ecuación Punto-Pendiente de la recta.

(y-y_1)/(x-x_1 )=m

Note que el objetivo es hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0; -2) y tiene pendiente m = -3.

Veamos           (y-(-2))/(x-0)=-3

Ahora procederemos a despejar la variable y.

(y+2)/x=-3

y+2=(-3)(x)

y+2=-3x

y=-3x-2

Por tanto, se concluye que la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(0; -2) y Q(2; -8) es

y=-3x-2

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

De los ejemplos anteriores, se concluye que la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(x_1;y_1) y Q(x_2;y_2) se puede obtener por

(y-y_1)/(x-x_1 )=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Ejemplo Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $58 por unidad y de 200 unidades si son de $51 cada una. Determinar la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Resolución.

Paso 1. Identifiquemos los puntos de paso.

•Se demanda 100 unidades cuando el precio es de $58, entonces A(100; 58)

•Se demanda 200 unidades cuando el precio es de $51, entonces B(200; 51)

Paso 2. Usaremos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

(y-y_1)/(x-x_1 )=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Reemplazando, tendremos

(y-58)/(x-100)=(51-58)/(200-100)

Despejando y:

(y-58)/(x-100)=(-7)/100

y-58=-7/100 (x-100)

y-58=-7/100 x+700/100

y=-7/100 x+65

Por tanto, se concluye que la ecuación de la demanda es

y=-7/100 x+65

Rectas paralelas y rectas perpendiculares

1.Dos rectas no verticales son paralelas si,  sólo si sus pendientes son iguales.

2.Dos rectas no verticales son perpendiculares si, y sólo si sus pendientes m_1 y m_2 son recíprocos opuestos. Esto es, si, y sólo si

m_1=-1/m_2

Ejemplo. Determine una ecuación de la recta que pasa por P(1; -2) que es paralela a la recta L con ecuación 3x-2y=1.

Resolución.

Paso 1. Determinaremos la pendiente de L escribiendo su ecuación en la forma y=mx+b.

Veamos:

3x-2y=1

-2y=-3x+1

2y=3x-1

La pendiente de L es 3/2.

La recta cuya ecuación buscamos tiene pendiente 3/2.

Paso 2. Usando la ecuación Punto-Pendiente.

(y-y_1)/(x-x_1 )=m

Veamos:

(y-(-2))/(x-1)=3/2

y+2=3/2(x-1)

y+2=3/2 x-3/2

y=3/2 x-7/2

Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por P(1; -2) que es paralela a la recta L con ecuación 3x-2y=1 es y=3/2 x-7/2  

Ejemplo. Determine una ecuación de la recta que pasa por P(2;-3) que es perpendicular a la recta L con ecuación 4x+y=3.

Resolución.

Paso 1. Determinaremos la pendiente de L escribiendo su ecuación en la forma y=mx+b.

Veamos:

4x+y=3

y=-4x+3

La pendiente de L es -4.

La recta cuya ecuación buscamos tiene pendiente -1/(-4)=1/4

Paso 2. Usando la ecuación Punto-Pendiente.

(y-y_1)/(x-x_1 )=m

Veamos:

(y-(-3))/(x-2)=1/4

y+3=1/4(x-2)

y+3=1/4 x-1/2

y=1/4 x-7/2

Concluimos que: la ecuación de la recta que pasa por P(2; -3) que es perpendicular a la recta L con ecuación 4x+y=3, es

y=1/4 x-7/2