Se llama inecuación cuadrática con
una incógnita a una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:
ax^2+bx+c>0
ax^2+bx+c≥0
ax^2+bx+c<0
ax^2+bx+c≤0
donde a, b y c son
números reales, pero con a≠0.
¿Cómo resolver inecuaciones
cuadráticas con una incógnita?
Teorema
1. Si
la expresión cuadrática
E=ax^2+bx+c
tiene ∆=b^2-4ac>0, entonces la ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0
posee dos raíces reales diferentes: r_1 y r_2, con
r_1<r_2.
Si a>0,
entonces en la recta real ubicamos las raíces r_1 y r_2, y
empezaremos a poner de derecha a izquierda: más,
menos y más.
Si a<0, entonces en la recta real ubicamos las raíces r_1 y r_2, y
empezaremos a poner de derecha a izquierda:
menos, más y menos.
Ejemplo 1 del Teorema 1.
Resuelva
x^2>25
Resolución
Paso 1. Vamos a expresarlo la
desigualdad a la forma de la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c>0.
En nuestro caso:
x^2>25
entonces
x^2-25>0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso haremos que:
x^2-25=0
de donde se obtiene que las raíces de la
ecuación cuadrática son
r_1=-5 r_2=5
Paso 3. Ubicamos las raíces de la
cuadrática en la recta real.
Construimos la recta real, en ella
ubicamos las raíces -5 y 5.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E=x^2-25,
Observe que el número que multiplica al x^2 es positivo, entonces en nuestra recta real, empezaremos de derecha a
izquierda con: más, menos y más.
Ahora bien, como x^2-25>0
se
concluye que C.S=├]-∞; -5┤[∪├]5; +∞┤[
Ejemplo 2 del Teorema 1.
Resuelva
3x^2≤25
Resolución
Paso 1. Vamos a expresarlo la
desigualdad a la forma de la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c≤0.
En nuestro caso:
3x^2≤2x
entonces
〖3x〗^2-2x≤0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso haremos que:
〖3x〗^2-2x=0
de donde se obtiene que las raíces de la
ecuación cuadrática son
r_1=0 r_2=2/3
Paso 3. Ubicamos las raíces de la
cuadrática en la recta real.
Construimos la recta real, en ella
ubicamos las raíces 0 y 2/3.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E=〖3x〗^2-2x,
Observe que el número que multiplica al x^2 es positivo, entonces en nuestra recta real, empezaremos de derecha a
izquierda con: más, menos y más.
Ahora bien, como
〖3x〗^2-2x≤0
se
concluye que C.S=[0;2/3]
Ejemplo 3 del Teorema 1.
Resuelva
2x^2-1≥x
Resolución
Paso 1. Vamos a expresarlo la
desigualdad a la forma de la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c≥0.
En nuestro caso:
2x^2-1≥x
entonces
2x^2-x-1≥0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso haremos que:
〖2x〗^2-x-1=0
de donde se obtiene que las raíces de la
ecuación cuadrática son
r_1=-1/2 r_2=1
Paso 3. Ubicamos las raíces de la
cuadrática en la recta real.
Construimos la recta real, en ella
ubicamos las raíces -1/2 y 1.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E=2x^2-x-1,
Observe que el número que multiplica al x^2 es positivo, entonces en nuestra recta real, empezaremos de derecha a
izquierda con: más, menos y más.
Ahora bien, como
2x^2-x-1≥0
se concluye que C.S=├]-∞;-1/2]∪[1; +∞┤[
Teorema
2. Si
la expresión cuadrática
E=ax^2+bx+c
tiene ∆=b^2-4ac=0, entonces la ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0
tiene multiplicidad de raíces, es decir r_1=r_2.
Si a>0,
entonces en la recta real ubicamos la única raíz r_1 y
ponemos a la derecha e izquierda de la raíz: más
y más.
Si a<0, entonces en la recta real ubicamos la única raíz r_1 y
ponemos a la derecha e izquierda de la raíz:
menos y menos.
Ejemplo 1 del Teorema 2.
Resuelva
x^2-4x≥-4
Resolución
Paso 1. Vamos a expresarlo la
desigualdad a la forma de la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c≥0.
En nuestro caso:
x^2-4x≥-4
entonces
x^2-4x+4≥0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso haremos que:
x^2-4x+4=0
de donde se obtiene que las raíces de la
ecuación cuadrática son
r_1=2 r_2=2
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
cuadrática en la recta real.
Construimos la recta real, en ella
ubicamos la raíz 2.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E=x^2-4x+4,
Observe que el número que multiplica al x^2 es positivo, entonces en nuestra recta real, empezaremos de derecha a
izquierda con: más y más.
Ahora bien, como
x^2-4x+4≥0
se concluye que C.S=├]-∞; +∞┤[
Ejemplo 2 del Teorema 2.
Resuelva
4x^2+12x>-9
Resolución
Paso 1. Vamos a expresarlo la
desigualdad a la forma de la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c>0.
En nuestro caso:
4x^2+12x>-9
entonces
4x^2+12x+9>0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso haremos que:
4x^2+12x+9=0
de donde se obtiene que las raíces de la
ecuación cuadrática son
r_1=-3/2 r_2=-3/2
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
cuadrática en la recta real.
Construimos la recta real, en ella
ubicamos la raíz -3/2.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E=4x^2+12x+9,
Observe que el número que multiplica al x^2 es positivo, entonces en nuestra recta real, empezaremos de derecha a
izquierda con: más y más.
Ahora bien, como
4x^2+12x+9>0
se concluye que C.S=├]-∞; +∞┤[-{-3/2}
Ejemplo 3 del Teorema 2.
Resuelva
9x^2≤6x-1
Resolución
Paso 1. Vamos a expresarlo la
desigualdad a la forma de la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c≤0.
En nuestro caso:
9x^2≤6x-1
entonces
9x^2-6x+1≤0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso haremos que:
9x^2-6x+1=0
de donde se obtiene que las raíces de la
ecuación cuadrática son
r_1=1/3 r_2=1/3
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
cuadrática en la recta real.
Construimos la recta real, en ella
ubicamos la raíz 1/3.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E=9x^2-6x+1,
Observe que el número que multiplica al x^2 es positivo, entonces en nuestra recta real, empezaremos de derecha a
izquierda con: más y más.
Ahora bien, como
9x^2-6x+1≤0
se concluye que C.S={1/3}
Ejemplo 4 del Teorema 2.
Resuelva
x^2+1<-2x
Resolución
Paso 1. Vamos a expresarlo la
desigualdad a la forma de la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c<0.
En nuestro caso:
x^2+1<-2x
entonces
x^2+2x+1<0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso haremos que:
x^2+2x+1=0
de donde se obtiene que las raíces de la
ecuación cuadrática son
r_1=-1 r_2=-1
Paso 3. Ubicamos la raíz de la
cuadrática en la recta real.
Construimos la recta real, en ella
ubicamos la raíz -1.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y
seleccionando la solución.
La expresión cuadrática es
E=x^2+2x+1,
Observe que el número que multiplica al x^2 es positivo, entonces en nuestra recta real, empezaremos de derecha a
izquierda con: más y más.
Ahora bien, como
x^2+2x+1<0
se concluye que C.S=ϕ
Teorema
3. Si
la expresión cuadrática E=ax^2+bx+c
tiene ∆=b^2-4ac<0, entonces la ecuación cuadrática no
tiene una sola raíz real, por tanto:
q Si a>0 y ax^2+bx+c>0 entonces
CS=R
q Si a>0 y ax^2+bx+c<0 entonces
CS=ϕ
Ejemplo 1 del Teorema 3.
Resuelva
3x^2+x<-7
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de
la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c<0.
En nuestro caso:
3x^2+x<-7
entonces
3x^2+x+7<0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso:
3x^2+x+7=0
no tiene raíces reales, ya que
∆=b^2-4ac<0
Paso 3. Concluyendo
Como ∆<0 y además se tiene que a>0 y 3x^2+x+7<0,
entonces
C.S=ϕ
Ejemplo 2 del Teorema 3.
Resuelva
x^2-2x>-5
Resolución
Paso 1. Expresarlo a la forma de
la inecuación cuadrática
ax^2+bx+c>0.
En nuestro caso:
x^2-2x>-5
entonces
x^2-2x+5>0
Paso 2. Obtenemos las raíces de la
ecuación cuadrática
ax^2+bx+c=0.
En nuestro caso:
x^2-2x+5=0
no tiene raíces reales, ya que
∆=b^2-4ac<0
Paso 3. Concluyendo.
Como ∆<0 y
además se tiene que a>0 y x^2-2x+5>0,
entonces
C.S=R
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