Sistema de Ecuaciones Lineales

Definición. Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) conformado por dos ecuaciones y dos variables es aquel que tiene la forma

{■8(a_1 x&+&b_1 y&=&d_1@a_2 x&+&b_2 y&=&d_2 )┤

donde x e y son las variables, y además a_1, b_1, d_1, a_2, b_2 y d_2 son llamados constantes.

Un ejemplo de SEL conformado por dos ecuaciones y dos variables es

{■8(2x&-&3y&=&0@x&+&5y&=&-2)┤

Un ejemplo de SEL conformado por tres ecuaciones y dos variables es

{■8(x&+&2y&=&-3@5x&-&3y&=&2@-2x&+&5y&=&-1)┤

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales (SEL) conformado por dos ecuaciones y dos variables es un par de valores (x_s;y_s) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales

{■8(2x&+&3y&=&14@3x&+&4y&=&19)┤

Tiene solución

{█(x=1@y=4)┤

Ya que al reemplazar x=1 y y=4 en cada ecuación que forma al SEL se cumpla la igualdad, es decir

{■8(2(1)&+&3(4)&=&2+12&=&14@3(1)&+&4(4)&=&3+16&=&19)┤

En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa una recta en el plano. Discutir un sistema es estudiar la situación de estas rectas en el plano, que pueden ser:

•Secantes, el sistema tiene solución única, se llama Compatible Determinado.

•Coincidente, el sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado.

•Paralelas, el sistema no tiene solución, se llama Incompatible.

Ejemplo 1. El SEL

{█(2x+3y=1@x-y=-2)┤

es compatible determinado

Note que las rectas son secantes, es decir, se intersectan en un solo punto.

Por tanto, C.S.={(-1;1)}

Ejemplo 2. El SEL

{█(x-y=-2@2x-2y=4)┤

es incompatible

Note que las rectas son paralelas, es decir, las rectas no se intersectan.

Por tanto, C.S.=ϕ

Ejemplo 3. El SEL

{█(2x-2y=-4@x-y=-2)┤

es compatible indeterminado

Note que las rectas son coincidentes, es decir, se intersectan en infinitos puntos.

Por tanto:

C.S.={(x;y)∈R^2:x-y=-2}

Se concluye que:

qSi el SEL es compatible determinado, entonces el SEL tendrá  solución única.

qSi el SEL es compatible indeterminado, entonces el SEL tendrá infinitas soluciones.

qSi el SEL es incompatible, entonces el SEL no tendrá solución.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales conformado por dos ecuaciones con dos variables.

Método de sustitución.

Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita; hallada ésta se calcula la otra.

Ejemplo 4. Resuelva el SEL {█(2x+3y=1@x-y=-2)┤

Paso 1: despejamos x en la 2da ecuación

{█(2x+3y=1@x=y-2)┤→{█(2x+3y=1@x=y-2)┤ 

Paso 2: reemplazamos el x despejado en la otra ecuación y resolvemos

{█(2(y-2)+3y=1@x=y-2)→┤ {█(y=1@x=y-2)┤

Paso 3: reemplazamos el valor hallado para calcular la otra

{█(y=1@x=1-2=-1)→┤ {█(y=1@x=-1)┤ 

Paso 4: concluimos

Por tanto C.S.={(-1;1)}