Funciones reales de variable real

Decimos que la cantidad y está en FUNCIÓN de la cantidad x, si se cumple que cada valor de x se relaciona con un ÚNICO valor de y.
A la cantidad y se le llama variable dependiente y a la cantidad x se le llama variable independiente.


La forma de denotar esta relación funcional es: y=f(x), que se lee como “y está en función de x” o “y depende de x”.

Cómo comprobar si una relación entre dos cantidades o variables es una función

Para verificar si existe una relación funcional entre dos cantidades o variables podemos representar la situación mediante diagramas, de la siguiente manera

Debemos de analizar los valores de 𝑥 y de 𝑦, y comprobar que se cumple que cada valor de 𝑥 se relaciona con un único valor de 𝑦. 

Ejemplo 1.

La relación f que va del conjunto A hacia el conjunto B

En este caso si es función, ya que  a cada elemento del conjunto 𝐴 se relaciona con un único elemento del conjunto 𝐵.

Ejemplo 2.

La relación f que va del conjunto A hacia el conjunto B

En este caso no es función, ya que existe al menos un elemento del conjunto 𝐴 que se relaciona con dos elementos del conjunto 𝐵.

Prueba de la recta vertical

Otra forma de determinar si una relación es una función, es por medio de la regla de la recta vertical, la cual consiste en trazar líneas verticales en la grafica de la relación. Si al trazar dichas líneas, todas cortan a la grafica de la función es un solo punto, entonces sí es un función, ya que cada valor de la variable independiente se relaciona con un único valor de la variable dependiente. Si al menos una línea vertical corta la gráfica en 2 o más puntos, entonces no es una función, ya que la variable independiente se estaría relacionando con más de un valor de la variable dependiente.

Ejemplo 3

Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde a una función.

Resolución.

Si es función, ya que cualquier recta vertical corta a la gráfica de la relación en un solo punto.

Ejemplo 4

Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde a una función.

Resolución.

No es función, ya que existe al menos una recta vertical que corta a la gráfica de la relación en más de un punto. 

Dominio y rango de una función

El dominio y rango de una función son conceptos relacionados con sus variables, veamos cómo se definen:

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de la variable independiente.

Rango o imagen: Es el conjunto de valores correspondientes a la variable dependiente.

Ejemplo 5

Encuentre el dominio de las siguientes funciones

a) f(x)=2x+1

Resolución

Note que sin importar el valor real que asuma la variable x, el valor f(x) siempre existirá.

Por tanto, Dom(f)=R

b) g(x)=x/(3x-2)

Resolución

Observe que el denominador tiene que ser distinto de cero, es decir: 3x-2≠0 →3x≠2 

Por tanto, Dom(g)=R-{2∕3}→x≠2∕3.

Ejemplo 6

A partir de la gráfica de la función f, determine su dominio y rango.

Resolución.

qDominio:

Dom(f)=]-∞;-2[∪[-1;2[ ∪ ]2;4]

qRango:

Ran(f)=]-∞;4] ∪{6}

Crecimiento de una función

Diremos que una función f:A→R  es creciente cuando :

m, n ϵ A, m<n  ⟹  f(m)<f(n)

Por ejemplo, la función f(x)=2x-3 es creciente en su dominio. 

Analíticamente:

Dom(f)=R.

Sea m,n∈R, m<n. 

Debemos de demostrar que f(m)<f(n).