Desigualdades lineales con dos variables

Grafica de una desigualdad.

Un par ordenado (a;b) de números reales es una solución de una desigualdad lineal en x y y, si la sustitución x=a y y=b satisface la desigualdad.

Por ejemplo, el par ordenado (2;5) es una solución de y<2x+3 ya que

5<2(2)+3=7.

Sin embargo, el par ordenado (2;8) no es solución de y<2x+3 puesto que

8≮2(2)+3=7.

Cuando hemos encontrado todas las soluciones hemos resuelto la desigualdad

La grafica de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos los pares (x;y) que son soluciones de la desigualdad. Generalmente, la gráfica de una desigualdad que incluye a dos variables es una región en el plano coordenado.

Por ejemplo, el punto (-1;1) está en la gráfica de la recta y=2x+3, pero no es una solución de y<2x+3. Un punto (-1;y) debajo de la recta y=2x+3 está en la gráfica de y<2x+3; los puntos situados por arriba de la recta no lo están. La gráfica de y<2x+3 es el conjunto de todos los puntos debajo de la recta y=2x+3. La gráfica de la recta y=2x+3 es la frontera de la región.

Pasos para dibujar la grafica de una desigualdad

1.Dibuje la gráfica de la ecuación obtenida reemplazando el signo de desigualdad por un signo igual. Si la desigualdad es < o >, utilice una recta discontinua (punteada). Utilice una recta sólida si la desigualdad es ≤ o ≥.

2.Compruebe un punto en cada una de las regiones del plano determinado por la gráfica de la ecuación. Si el punto satisface la desigualdad, entonces sombree la región que contiene al punto

Ejemplo 1. Dibuje la gráfica de y≥2x+3.

Resolución

Paso 2. El punto (0;4) está por arriba de la recta y satisface la desigualdad ya que 4≥2(0)+3. Por tanto, la gráfica de y≥2x+3 consiste en todos los puntos en o arriba de la recta y=2x+3.

Nota. La gráfica de la desigualdad lineal y≥ax+b, y>ax+b, y≤ax+b o y<ax+b es un semiplano. La grafica de la recta y=ax+b es la frontera de la región.

Ejemplo 2. Dibuje la gráfica de x≥2.

Resolución

Paso 1. Al reemplazar “≥” por “=”, obtenemos la ecuación x=2, cuya gráfica es una recta vertical continua (ya que la desigualdad es “≥").

Paso 2. La grafica de x≥2 es el conjunto de todos los puntos en y a la derecha de la recta vertical x=2.

Ejemplo 3. Dibuje la gráfica de y<1.

Resolución

Paso 1. Al reemplazar “<” por “=”, obtenemos la ecuación y=1, cuya gráfica es una recta horizontal discontinua (ya que la desigualdad es “<”)  

Paso 2. La grafica de y<1 es el conjunto de todos los puntos debajo de la recta horizontal discontinua y=1.