Inecuación lineal con una incógnita

Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:

ax+b>0

ax+b≥0

ax+b<0

ax+b≤0

donde a y b son números reales, pero con a≠0.

¿Qué reglas matemáticas usaremos para resolver inecuaciones?

Regla 1. Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.

En símbolos, si a>b y c es cualquier número real, entonces

a+c>b+c     y     a-c>b-c

Ejemplo 1 de la Regla 1.

Sabemos que

5>3

si sumamos 4 a ambos lados de la desigualdad, se obtiene

5+4>3+4

ya que

9>7

Note: si a ambos lados de una desigualdad, se le suma un número, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Ejemplo 2 de la Regla 1.

Sabemos que

8>4

si restamos 3 a ambos lados de la desigualdad, se obtiene

8-3>4-3

ya que

5>1

Note: si a ambos lados de una desigualdad, se le resta un número, entonces el sentido la desigualdad no se altera.

Regla 2. El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo.

En símbolos, si a>b y c es cualquier número positivo, entonces

a∙c>b∙c     y     a/c>b/c

mientras, si c es cualquier número negativo, entonces

a∙c<b∙c     y     a/c<b/c

Es importante observar:

(1)Si a ambos lados de una desigualdad, se multiplica un número positivo, entonces el sentido la desigualdad no se altera.

(2)Si a ambos lados de una desigualdad, se multiplica un número negativo, entonces el sentido la desigualdad se altera.

Ejemplo 1 de la Regla 2.

Sabemos que

5>3

si multiplicamos por 4 a ambos lados de la desigualdad, se obtiene

5×4>3×4

ya que

20>12

Nota: si a ambos lados de una desigualdad, se multiplica un número positivo, entonces el sentido la desigualdad no se altera.

Ejemplo 2 de la Regla 2.

Sabemos que

8>-2

si multiplicamos por (-3) a ambos lados de la desigualdad, se obtiene

8×(-3)<(-2)×(-3)

ya que

-24<6

Nota: Si a ambos lados de una desigualdad, se multiplica un número negativo, entonces el sentido la desigualdad se altera.